
Daftar Isi
A. Pengertian Rantai Markov (Markov Chain)
Rantai Markov adalah rangkaian proses kejadian yang mana probabilitas bersyarat kejadian yang akan datang tergantung pada kejadian yang sekarang.
Rantai Markov pertama kali dikemukakan oleh Andrey Andreevich Markov, matematikawan berkebangsaan Rusia. Publikasinya yang pertama membahas rantai markov adalah pada tahun 1906.
Permasalahan markov chain/rantai markov dapat diselesaikan dengan menggunakan probability tree diagram dan pendekatan matriks.
Baca Juga: Contoh Soal Pengambilan Keputusan
B. Definisi Probabilitas Transisi
Probabilitas transisi adalah perubahan dari satu kondisi ke kondisi yang lain pada periode (waktu) berikutnya dan merupakan suatu proses random yang dinyatakan dalam probabilitas.
Probabilitas transisi dapat dituliskan dalam bentuk matriks yang disebut matriks probabilitas transisi. Bentuk penulisan matriks yaitu sebagai berikut.
Dari keadaan ke- | Pindah ke keadaan ke- | |||||
1 | 2 | ... | j | ... | n | |
1 | p11 | p12 | ... | p1j | ... | p1n |
2 | p21 | p22 | ... | p2j | ... | p2n |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
i | pi1 | pi2 | ... | pij | ... | pin |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
n | pn1 | pn2 | ... | pnj | ... | pnn |
Keteragan:
n = jumlah keadaan dalam proses
i = kondisi awal ke-i (i = 1, 2, …, n)
j = kondisi akhir ke-j (j = 1, 2, …, n)
pij = peluang perubahan kondisi dari kondisi ke-i menjadi kondisi ke-j
C. Contoh Soal Probabilitas Transisi & Contoh Soal Rantai Markov
Di kota A terdapat toko swalayan X dan Y. Diasumsikan bahwa sitiap pembeli melakukan pembelian seminggu sekali di salah satu dari kedua toko swalayan tersebut (tidak di keduanya).
Diambil sebanyak 80 sampel pembeli selama 10 minggu. Dari penelitian tersebut diketahui bahwa jka pembeli ke toko X pada suatu minggu, 75 orang akan tetap membeli di toko X pada minggu berikutnya dan jika pembeli ke toko Y pada suatu minggu, 60 orang akan tetap membeli di toko Y pada minggu berikutnya. Buatlah tabel dan matriks probabilitas transisinya! Jika pada minggu pertama Bambang membeli di toko X, berapa probabilitas Bambang membeli di toko X pada minggu ketiga?
Jawab:
Dari data yang ada, dapat dibuat tabel probabilitas transisi sebagai berikut.
Minggu awal\Minggu selanjutnya | X | Y |
X | 75/80=0,9375 | 5/80=0,0625 |
Y | 60/80=0,75 | 20/80=0,25 |
Maka matriks probabilitas transisinya yaitu sebagai berikut.
P= \begin{bmatrix} 0,9375&0,0625\\ 0,75&0,25\\ \end{bmatrix}
Jika pada minggu pertama Bambang membeli di toko X, berapa probabilitas Bambang membeli di toko X pada minggu ketiga?
Pertanyaan tersebut dapat dijawab dengan menggunakan membuat pohon diagram probabilitas dan matriks. Kali ini akan kita selesaikan dengan menggunakan pendekatan matriks sebagai berikut.
Diperoleh kondisi awal yaitu sebagai berikut.
\begin{aligned} P_{t(0)}&= \begin{bmatrix} toko\ X&toko\ Y \end{bmatrix}\\ P_{t(0)}&= \begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix} \end{aligned}
Sehingga perhitungan probabilitas untuk minggu kedua dan ketiga adalah sebagai berikut.
\begin{aligned} P_{t(1)}&= \begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 0,9375&0,0625\\ 0,75&0,25\\ \end{bmatrix}\\ P_{t(1)}&= \begin{bmatrix} 0,9375&0,0625 \end{bmatrix}\\\\ P_{t(2)}&= \begin{bmatrix} 0,9375&0,0625 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 0,9375&0,0625\\ 0,75&0,25\\ \end{bmatrix}\\ P_{t(2)}&= \begin{bmatrix} 0,9258&0,0742 \end{bmatrix} \end{aligned}
Dari hasil perhitungan dia tas, maka dapat disimpulkan bahwa jika Bambang membeli di toko X pada minggu pertama, probabilitas Bambang membeli di toko X pada minggu ketiga adalah 92,58%.